(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(U11(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0)) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(isNatList(V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(isNat(V1))
active(isNatIList(V)) → mark(isNatList(V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatIList(V2)))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatList(V2)))
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(and(isNatList(L), isNat(N)), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
cons(mark(X1), X2) →+ mark(cons(X1, X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(isNatList(V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(isNat(V1))
active(isNatIList(V)) → mark(isNatList(V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatIList(V2)))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatList(V2)))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(and(isNatList(L), isNat(N)), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(isNatList(V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(isNat(V1))
active(isNatIList(V)) → mark(isNatList(V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatIList(V2)))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatList(V2)))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(and(isNatList(L), isNat(N)), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
cons,
s,
length,
isNatList,
isNat,
and,
isNatIList,
U11,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
s < active
length < active
isNatList < active
isNat < active
and < active
isNatIList < active
U11 < active
active < top
cons < proper
s < proper
length < proper
isNatList < proper
isNat < proper
and < proper
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, s, length, isNatList, isNat, and, isNatIList, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
s < active
length < active
isNatList < active
isNat < active
and < active
isNatIList < active
U11 < active
active < top
cons < proper
s < proper
length < proper
isNatList < proper
isNat < proper
and < proper
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n5_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n5
0)
Induction Base:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, length, isNatList, isNat, and, isNatIList, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
length < active
isNatList < active
isNat < active
and < active
isNatIList < active
U11 < active
active < top
s < proper
length < proper
isNatList < proper
isNat < proper
and < proper
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n1082_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n1082
0)
Induction Base:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n1082_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
length, active, isNatList, isNat, and, isNatIList, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
length < active
isNatList < active
isNat < active
and < active
isNatIList < active
U11 < active
active < top
length < proper
isNatList < proper
isNat < proper
and < proper
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
length(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n1634_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n1634
0)
Induction Base:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n1634_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(16) Complex Obligation (BEST)
(17) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, active, isNat, and, isNatIList, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList < active
isNat < active
and < active
isNatIList < active
U11 < active
active < top
isNatList < proper
isNat < proper
and < proper
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.
(19) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, active, and, isNatIList, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat < active
and < active
isNatIList < active
U11 < active
active < top
isNat < proper
and < proper
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.
(21) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
and, active, isNatIList, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
and < active
isNatIList < active
U11 < active
active < top
and < proper
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(22) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
and(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n2317_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2317
0)
Induction Base:
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2317_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(23) Complex Obligation (BEST)
(24) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, active, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList < active
U11 < active
active < top
isNatIList < proper
U11 < proper
proper < top
(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.
(26) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
active < top
U11 < proper
proper < top
(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U11(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n4130_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n4130
0)
Induction Base:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n4130_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4130_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(28) Complex Obligation (BEST)
(29) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4130_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n41300)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(31) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4130_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n41300)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(32) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(33) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4130_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n41300)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(34) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(35) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4130_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n41300)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(36) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(37) BOUNDS(n^1, INF)
(38) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4130_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n41300)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(39) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(40) BOUNDS(n^1, INF)
(41) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2317_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n23170)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(42) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(43) BOUNDS(n^1, INF)
(44) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1634_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n16340)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(45) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(46) BOUNDS(n^1, INF)
(47) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1082_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n10820)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(48) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(49) BOUNDS(n^1, INF)
(50) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
isNat(
0')) →
mark(
tt)
active(
isNat(
length(
V1))) →
mark(
isNatList(
V1))
active(
isNat(
s(
V1))) →
mark(
isNat(
V1))
active(
isNatIList(
V)) →
mark(
isNatList(
V))
active(
isNatIList(
zeros)) →
mark(
tt)
active(
isNatIList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatIList(
V2)))
active(
isNatList(
nil)) →
mark(
tt)
active(
isNatList(
cons(
V1,
V2))) →
mark(
and(
isNat(
V1),
isNatList(
V2)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
and(
isNatList(
L),
isNat(
N)),
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
isNat(
X)) →
isNat(
proper(
X))
proper(
isNatList(
X)) →
isNatList(
proper(
X))
proper(
isNatIList(
X)) →
isNatIList(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
isNat(
ok(
X)) →
ok(
isNat(
X))
isNatList(
ok(
X)) →
ok(
isNatList(
X))
isNatIList(
ok(
X)) →
ok(
isNatIList(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(51) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(52) BOUNDS(n^1, INF)